À propos de tomographie algébrique dans le cadre projectif ou torique

On sait le rôle crucial que jouent les transformations du type Radon en géométrie intégrale réelle (tomographie, CAT Scanner). Le principe de ces transformations est bien connu : à une fonction f , disons suffisamment régulière et à support compact dans R, on associe, k étant un entier fixé entre 1 et n−1, la collection de fonctions obtenues par intégration de f sur la collection des sous-espaces affines de dimension k de R ; on a ainsi la transformation de Radon (k = n−1), la transformation de Radon par les droites (k = 1) ou X-Ray transformation, etc. La réalisation de l’inversion de ces transformations (souvent d’ailleurs envisagées avec données soit incomplètes, soit sous forme “atténuée” – ce qui signifie que l’intégration se trouve pondérée par une densité) est un problème majeur, par exemple en imagerie médicale. De récents développements technologiques ont par ailleurs récemment mis en lumière l’intérêt d’envisager des transformées de Radon suivant d’autres familles de k-sous variétés que les familles de k-plans (k = 1, ..., n − 1) ; la X-Ray transformation par les cercles en est un exemple.